Pii: S0079-6565(00)00032-7

1. Introduction and historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2. Spectral estimators, parameter estimators and nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3. Non-Hermitian quantum mechanics: connection to the harmonic inversion problem (HIP) . . . . . . . . . 167 4. HIP can be solved by pure linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.1. Example: K ˆ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5. RRT: the regularized resolvent transform for direct spectral estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.1. Regularization by singular value decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2. Tikhonov regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3. The status of RRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6. Fourier basis for local spectral analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7. Spectral estimation using the FDM line list . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.1. Multi-window implementation of FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.2. To flip or not to flip? I…s† or I…s†? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.3. Multi-scale Fourier basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.4. Cheating or resolution enhancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.5. Phase correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.6. Reference deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 8. Multi-dimensional FDM: a “naive” approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.1. Multi-dimensional versus 1D spectral analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.2. Multi-dimensional FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.3. Solution of the Multi-dimensional HIP locally in the frequency domain using a Fourier basis . . . 183 8.4. Why does the naive D . 1 FDM “fail” for noisy data? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9. The resolvent formulae for multi-dimensional spectral estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 9.1. 2D RRT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10. Regularization of multi-dimensional FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 10.1. Signal averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 10.2. Pseudo-noise averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10.3. Optimistic regularization: FDM2k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy 38 (2001) 159–196